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流形上的微积分
从初等微积分到流形上的微积分
一本面向人工智能时代的数学教科书
© 2025 孔雷 · 版权所有
- 写在本书编写之前
- 本部分导言
- 1.1 向量、范数与内积
- 1.2 线性映射
- 1.3 欧氏空间的拓扑初步
- 1.4 概念翻译器
- 2.1 导数作为最佳线性近似
- 2.2 链式法则
- 2.3 偏导数与可微性
- 2.4 反函数定理与隐函数定理
- 2.5 概念翻译器
- 3.1 矩形上的积分
- 3.2 零测集与可积性
- 3.3 富比尼定理
- 3.4 变量替换
- 3.5 单位分解
- 3.6 概念翻译器
- 4.1 对偶空间与余向量
- 4.2 多重线性映射与张量积
- 4.3 交错张量与楔积
- 5.1 切空间与向量场
- 5.2 微分1-形式
- 5.3 k-形式
- 5.4 外微分 d
- 5.5 庞加莱引理
- 6.1 奇异立方体与链
- 6.2 形式在链上的积分
- 6.3 R^n 中的斯托克斯定理
- 6.4 对偶性视角
- 6.5 概念翻译器
- 7.1 流形的定义
- 7.2 切空间
- 7.3 流形上的向量场与微分形式
- 7.4 流形上的单位分解
- 8.1 定向
- 8.2 流形上的积分
- 8.3 流形上的斯托克斯定理
- 8.4 经典定理的现代推导
- 8.5 概念翻译器
- 9.1 体积形式与面积公式
- 9.2 德拉姆上同调简介
- 9.3 斯托克斯定理在物理学中的应用
- 9.4 与数据科学和机器学习的联系
第一部分 欧氏空间上的微分学
第1章 欧氏空间与线性映射基础
第2章 多元函数的导数
第二部分 欧氏空间上的积分学
第3章 黎曼积分
第三部分 微分形式与欧氏空间上的斯托克斯定理
第4章 代数预备——张量与形式
第5章 微分形式与外微分
第6章 链上的积分与斯托克斯定理
第四部分 流形与流形上的积分
第7章 流形
第8章 流形上的积分与斯托克斯定理
附录与延伸
第9章 进一步的方向（选读）