初等微积分用一句话概括，就是"变化率与累积量"。在一元函数 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 中，导数 $f'(a)$ 是一个数。这个数包含了两条信息：函数在 $a$ 附近是上升还是下降，以及上升或下降的速率。

当我们进入多元函数的领域——函数的定义域不再是一条直线，而是一个平面、一个空间，乃至一个 $n$ 维欧氏空间——一个数就不够了。原因很简单：在 $\mathbb{R}^n$ 中，我们不是只能沿着一个方向移动，而是可以沿着无穷多个方向移动。函数在不同方向上的变化率，通常各不相同。

这迫使我们重新思考：导数，究竟是什么？

本部分的回答是：导数是一个线性映射。

这个回答需要一些解释。在一元情形，我们可以把"数 $f'(a)$"重新理解为"乘以 $f'(a)$ 这个线性映射"：它接受一个输入的微小位移 $h$，输出一个输出的微小位移 $f'(a)h$。这个映射是线性的——输入翻倍，输出翻倍；输入相加，输出相加。

在多元情形，这个线性映射不再能用一个数来刻画，而需要用矩阵——雅可比矩阵。$Df(\boldsymbol{a})$ 接受一个输入的微小位移 $\boldsymbol{h}$（它是一个向量），输出一个输出的微小位移（它也是一个向量）。线性性质依然成立：$Df(\boldsymbol{a})(\boldsymbol{h}_1 + \boldsymbol{h}_2) = Df(\boldsymbol{a})(\boldsymbol{h}_1) + Df(\boldsymbol{a})(\boldsymbol{h}_2)$，$Df(\boldsymbol{a})(c\boldsymbol{h}) = c Df(\boldsymbol{a})(\boldsymbol{h})$。

这个视角的转变有一个深刻的结果：它让链式法则变得几乎"显然"。

在初等微积分中，链式法则 $(g \circ f)'(a) = g'(f(a)) \cdot f'(a)$ 是一条需要记忆和练习的规则。但在新视角下，它只是如下代数事实的体现：函数复合的导数，是各个函数导数的复合。用符号写出来：

右边的 $\circ$ 是线性映射的复合——本质上就是矩阵乘法。

如果再多一层复合呢？设 $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$，$g: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^p$，$h: \mathbb{R}^p \to \mathbb{R}^q$，考虑三重复合 $h \circ g \circ f$。按照初等微积分的做法，我们需要分两步套用链式法则，每一步都要仔细核对代入点。但在新视角下，结果呈现出一种清晰的模式：

无论复合多少层，求导就是把每一层的导数——每个都是一个线性映射——按复合的相反顺序乘起来。这个模式不需要死记硬背，它自动地从"导数 = 最佳线性近似"这个定义中流出。

本部分的两章正是围绕这一核心思想展开的。

第1章 建立必要的线性代数基础。我们假定读者已经熟悉矩阵运算，因此本章的重点不是"如何做矩阵乘法"，而是将线性映射作为一个独立的数学对象来理解。特别重要的是算子范数的概念——它精确地度量一个线性映射能将向量"拉伸"多少倍。这个工具在证明可微性、链式法则、反函数定理时不可或缺。本章也引入了欧氏空间中开集、闭集、紧集等拓扑概念，它们为后续的连续性、可积性讨论提供了语言。

第2章 将"导数 = 线性映射"这个定义贯彻到底。我们从一维情形出发，将定义自然推广到高维，然后系统性地重新推导读者在初等微积分中熟悉的规则——链式法则、乘积法则、隐函数求导——在新视角下，它们不再是孤立的技巧，而是同一棵树上的分支。本章还将初步展现"内积依赖"与"内积独立"概念的区分：梯度 $\nabla f$ 依赖于欧氏空间的内积，而导数 $Df$ 不依赖——这一区分在第4章引入微分形式时将变得至关重要。

在你开始阅读之前，有一个小小的提醒。你可能发现自己需要反复回到定义，追问："这个对象属于哪个空间？它接受什么输入？它产生什么输出？"这正是我们希望培养的习惯。在初等微积分中，几乎一切都在 $\mathbb{R}$ 中进行，这种区分不那么重要。但在多元微积分和后续的流形理论中，同一个名词（例如"微分"）可能指向不同类型的数学对象，混淆的代价很高。本部分引入的类型标注习惯——用旁白框明确定义每个对象的定义域和值域——将帮助你从一开始就建立起清晰的思维框架。

准备好了吗？我们从 $\mathbb{R}^n$ 的距离与角度开始，踏上征途。