第2章 · 多元函数的导数
2.5 隐函数定理
在 §2.4 中，我们证明了反函数定理：若 $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ 在点 $\boldsymbol{a}$ 处导数可逆，则 $f$ 在 $\boldsymbol{a}$ 附近是局部微分同胚——对每个靠近 $f(\boldsymbol{a})$ 的 $\boldsymbol{y}$，方程 $f(\boldsymbol{x}) = \boldsymbol{y}$ 有唯一解 $\boldsymbol{x}$。反函数定理要求定义域和值域的维数相同（都是 $n$），因为只有维数相同的空间之间才可能存在可逆映射——这是"局部双射"的必要条件，而非证明技巧的限制。
现在考虑一个更一般的问题：给定一个映射 $f: \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m$（定义域是两个欧氏空间的乘积），以及一个点 $(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})$ 满足 $f(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}) = \boldsymbol{0}$。我们想问：在 $(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})$ 附近，能否从方程 $f(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) = \boldsymbol{0}$ 中把 $\boldsymbol{y}$ "解出来"，即找到唯一的函数 $\boldsymbol{y} = g(\boldsymbol{x})$ 使得 $f(\boldsymbol{x}, g(\boldsymbol{x})) = \boldsymbol{0}$ 局部成立？
这就是隐函数定理的核心问题。"隐函数"一词来源于：方程 $f(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) = \boldsymbol{0}$ 隐含地定义了 $\boldsymbol{y}$ 作为 $\boldsymbol{x}$ 的函数，而不一定给出了 $\boldsymbol{y}$ 关于 $\boldsymbol{x}$ 的显式表达式。
隐函数定理的目标是从 $m$ 个方程 $f(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) = \boldsymbol{0}$ 中解出 $m$ 个未知数 $\boldsymbol{y}$。如果 $f$ 的值域维数是 $l \neq m$，情况将截然不同。若 $l < m$（方程个数少于变量个数），方程组是"欠定"的，通常有无穷多个解——不能期望把 $\boldsymbol{y}$ 唯一地解成 $\boldsymbol{x}$ 的函数。若 $l > m$（方程个数多于变量个数），方程组是"超定"的，通常根本没有解。只有当 $l = m$ 时，方程个数和未知数个数相等，才有可能"恰好"确定一个唯一解。此外，在证明中我们将构造一个扩充映射并应用反函数定理——这进一步要求值域维数与待解变量维数一致。因此，定理中 $f: \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m$ 的设定是自然且必要的。
2.5.1 定理的陈述
设 $f: \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m$ 在包含 $(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})$ 的开集上连续可微（即 $C^1$），且 $f(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}) = \boldsymbol{0}$。记 $\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^n$，$\boldsymbol{y} \in \mathbb{R}^m$。令
是 $f$ 关于 $\boldsymbol{y}$ 变量的偏导数构成的 $m \times m$ 矩阵。若 $\det D_{\boldsymbol{y}} f(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}) \neq 0$，则
1. 存在包含 $\boldsymbol{a}$ 的开集 $U \subset \mathbb{R}^n$ 和包含 $\boldsymbol{b}$ 的开集 $V \subset \mathbb{R}^m$，以及唯一的 $C^1$ 映射 $g: U \to V$，使得 $g(\boldsymbol{a}) = \boldsymbol{b}$，且对任意 $\boldsymbol{x} \in U$，有 $f(\boldsymbol{x}, g(\boldsymbol{x})) = \boldsymbol{0}$。
2. 隐函数 $g$ 的导数为
其中 $D_{\boldsymbol{x}} f(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) = (D_j f^i(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}))_{1 \le i \le m, 1 \le j \le n}$ 是 $f$ 关于 $\boldsymbol{x}$ 变量的偏导数构成的 $m \times n$ 矩阵。
由于 $f$ 的定义域是 $\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^m$，点 $(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})$ 中 $\boldsymbol{a} \in \mathbb{R}^n$（$n$ 维向量），$\boldsymbol{b} \in \mathbb{R}^m$（$m$ 维向量）。在偏导数的记号中，前 $n$ 个变量（坐标为 $1, \dots, n$）对应 $\boldsymbol{x}$，后 $m$ 个变量（坐标为 $n+1, \dots, n+m$）对应 $\boldsymbol{y}$。$D_{\boldsymbol{y}} f(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})$ 是 $f$ 关于后 $m$ 个变量（"$\boldsymbol{y}$ 部分"）的偏导数构成的雅可比矩阵。条件 $\det D_{\boldsymbol{y}} f(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}) \neq 0$ 意味着这个 $m \times m$ 子矩阵可逆——这是"关于 $\boldsymbol{y}$ 的导数可逆"的精确说法。
在一维情形（$n = m = 1$），条件退化为 $\frac{\partial f}{\partial y}(a,b) \neq 0$，结论是存在唯一的函数 $y = g(x)$ 满足 $f(x, g(x)) = 0$，且
这是初等微积分中隐函数求导公式的多元推广——只是"除以一个数"换成了"乘以逆矩阵"。
2.5.2 证明思想：构造辅助函数，转化为反函数问题
隐函数定理与反函数定理在本质上是等价的——通过一个巧妙的构造，我们可以把隐函数问题转化为反函数问题来处理。
目标：在 $(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})$ 附近，从方程 $f(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) = \boldsymbol{0}$ 中解出 $\boldsymbol{y} = g(\boldsymbol{x})$。
面临的困难：函数 $f$ 的定义域是 $\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^m$（维数 $n+m$），值域是 $\mathbb{R}^m$（维数 $m$）。定义域和值域的维数不同，不能直接应用反函数定理（反函数定理要求定义域和值域维数相同）。我们需要一个"桥梁"，将维数不同的情形转化为维数相同的情形。
策略：构造一个扩充的映射 $F: \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^m$，定义为
这个构造的核心思想是：$F$ 在 $\boldsymbol{x}$ 分量上是恒等映射（不改变 $\boldsymbol{x}$，输出 $\mathbb{R}^n$），在 $\boldsymbol{y}$ 分量上就是原映射 $f$（输出 $\mathbb{R}^m$）。两者合起来，$F$ 的值域维数是 $n+m$，恰好等于定义域维数 $n+m$。这样，$F$ 就是一个从 $\mathbb{R}^{n+m}$ 到 $\mathbb{R}^{n+m}$ 的"正方形"映射——反函数定理可以应用了。
如果 $F$ 在 $(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})$ 附近有局部反函数 $F^{-1}$，那么我们可以从关系式
中解出 $\boldsymbol{y}$。具体来说，设 $F^{-1}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{z}) = (\boldsymbol{x}, h(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{z}))$（因为 $F$ 在 $\boldsymbol{x}$ 分量上是恒等映射，其反函数在 $\boldsymbol{x}$ 分量上也是恒等映射），则 $\boldsymbol{y} = h(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{0})$ 就是所求的隐函数 $g(\boldsymbol{x})$。
为什么 $F$ 局部可逆？ 计算 $F$ 在 $(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})$ 处的雅可比矩阵（分块形式）：
其中 $I_n$ 是 $n \times n$ 单位矩阵，$0_{n \times m}$ 是 $n \times m$ 零矩阵。这个分块矩阵是下三角的，其行列式为
因此，$F$ 满足反函数定理的条件：它在 $(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})$ 处是 $C^1$ 的，且导数可逆。由反函数定理（定理 2.4.1），存在 $(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})$ 的开邻域 $W$ 和 $F(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}) = (\boldsymbol{a}, \boldsymbol{0})$ 的开邻域，使得 $F: W \to F(W)$ 是微分同胚。
从反函数到隐函数。 设 $F^{-1}$ 为 $F$ 的局部反函数。由于 $F$ 在 $\boldsymbol{x}$ 分量上是恒等映射，其反函数在 $\boldsymbol{x}$ 分量上也���恒等映射。因此，可以记
其中 $h$ 是从 $\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^m$ 到 $\mathbb{R}^m$ 的 $C^1$ 映射。现在，对于 $\boldsymbol{x} \in U$（某个包含 $\boldsymbol{a}$ 的开集），由于 $(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{0})$ 靠近 $F(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}) = (\boldsymbol{a}, \boldsymbol{0})$，它落在 $F(W)$ 内。因此
记 $g(\boldsymbol{x}) = h(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{0})$。则
但由 $F$ 的定义，$F(\boldsymbol{x}, g(\boldsymbol{x})) = (\boldsymbol{x}, f(\boldsymbol{x}, g(\boldsymbol{x})))$。比较第二分量，得
这就从反函数定理推出了隐函数的存在性。隐函数 $g$ 的可微性及导数公式则通过 $F^{-1}$ 的可微性和链式法则得出。
2.5.3 证明
第一步：构造扩充映射并验证反函数定理条件。
定义 $F: \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^m$ 为
显然 $F(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}) = (\boldsymbol{a}, f(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})) = (\boldsymbol{a}, \boldsymbol{0})$。由于 $f$ 在包含 $(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})$ 的开集上是 $C^1$ 的，$F$ 也在同一开集上是 $C^1$ 的。
现在计算 $F$ 在 $(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})$ 处的雅可比矩阵。将 $F$ 写成 $(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) \mapsto (F_1(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}), F_2(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}))$，其中 $F_1(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) = \boldsymbol{x}$（有 $n$ 个分量），$F_2(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) = f(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})$（有 $m$ 个分量）。则 $F$ 的雅可比矩阵是一个 $(n+m) \times (n+m)$ 矩阵，其分块形式为
其中 $I_n$ 是 $n \times n$ 单位矩阵（因为 $\frac{\partial F_1}{\partial \boldsymbol{x}} = \frac{\partial}{\partial \boldsymbol{x}}(\boldsymbol{x}) = I_n$），$0_{n \times m}$ 是 $n \times m$ 零矩阵（因为 $F_1$ 不依赖于 $\boldsymbol{y}$）。
这里使用了分块矩阵的记法，将 $F$ 的 $(n+m)$ 个分量按功能分成两组：前 $n$ 个分量就是 $\boldsymbol{x}$ 本身（恒等映射），后 $m$ 个分量是 $f(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})$。对应的雅可比矩阵也按前 $n$ 个变量（$\boldsymbol{x}$）和后 $m$ 个变量（$\boldsymbol{y}$）分块。
由分块下三角矩阵的行列式性质（见旁白），我们有
因为 $\det D_{\boldsymbol{y}} f(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}) \neq 0$ 正是定理的条件。因此，$F$ 在 $(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})$ 处满足反函数定理（定理 2.4.1）的所有条件。
对于形如 $\begin{pmatrix} A & 0 \\ C & D \end{pmatrix}$ 的分块矩阵（其中 $A$ 和 $D$ 是方阵），其行列式为 $\det(A) \cdot \det(D)$。这是因为可以通过行变换消去左下角的 $C$ 而不改变行列式，最终化为块对角矩阵。此处 $A = I_n$，$D = D_{\boldsymbol{y}} f(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})$。
第二步：应用反函数定理得到 $F^{-1}$。
由反函数定理（定理 2.4.1），存在包含 $(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})$ 的开集 $W \subset \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^m$ 和包含 $F(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}) = (\boldsymbol{a}, \boldsymbol{0})$ 的开集 $\widetilde{W} \subset \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^m$，使得
是双射，且反函数 $F^{-1}: \widetilde{W} \to W$ 是 $C^1$ 的。
由于 $F$ 的第一分量是恒等映射 $\boldsymbol{x} \mapsto \boldsymbol{x}$，其反函数的第一分量也必须是恒等映射。因此，存在一个 $C^1$ 映射 $h: \widetilde{W} \to \mathbb{R}^m$，使得对任意 $(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{z}) \in \widetilde{W}$，有
为什么反函数的第一分量仍是恒等映射？考虑 $F \circ F^{-1}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{z}) = (\boldsymbol{x}, \boldsymbol{z})$。设 $F^{-1}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{z}) = (\boldsymbol{u}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{z}), \boldsymbol{v}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{z}))$。由 $F$ 的定义，$F(\boldsymbol{u}, \boldsymbol{v}) = (\boldsymbol{u}, f(\boldsymbol{u}, \boldsymbol{v}))$。等式 $F(F^{-1}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{z})) = (\boldsymbol{x}, \boldsymbol{z})$ 的第一分量给出 $\boldsymbol{u}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{z}) = \boldsymbol{x}$。因此 $\boldsymbol{u}$ 必为恒等映射。
特别地，$F^{-1}(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{0}) = (\boldsymbol{a}, h(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{0}))$。但 $F(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}) = (\boldsymbol{a}, \boldsymbol{0})$，所以 $(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}) = F^{-1}(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{0}) = (\boldsymbol{a}, h(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{0}))$，从而 $h(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{0}) = \boldsymbol{b}$。
第三步：构造隐函数。
设 $\pi: \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n$ 是到第一分量的投影。令 $U = \pi(\widetilde{W} \cap (\mathbb{R}^n \times \{\boldsymbol{0}\}))$。由于 $\widetilde{W}$ 是开集，$U$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中包含 $\boldsymbol{a}$ 的开集（见练习 2.5 第 4 题）。对任意 $\boldsymbol{x} \in U$，有 $(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{0}) \in \widetilde{W}$，定义
则 $g: U \to \mathbb{R}^m$ 是 $C^1$ 的（作为 $C^1$ 映射在固定 $\boldsymbol{z} = \boldsymbol{0}$ 处的限制），且 $g(\boldsymbol{a}) = h(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{0}) = \boldsymbol{b}$。此外，对任意 $\boldsymbol{x} \in U$，
但由 $F$ 的定义，$F(\boldsymbol{x}, g(\boldsymbol{x})) = (\boldsymbol{x}, f(\boldsymbol{x}, g(\boldsymbol{x})))$。比较第二分量，得
因为 $W \subset \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^m$ 是开集，且 $(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}) \in W$，根据乘积拓扑的性质，必存在开集 $U_0 \subset \mathbb{R}^n$ 包含 $\boldsymbol{a}$，和开集 $V \subset \mathbb{R}^m$ 包含 $\boldsymbol{b}$，使得 $U_0 \times V \subset W$。我们将 $U$ 替换为 $U \cap U_0$（为方便起见仍记为 $U$），则 $U \times V \subset W$。由于 $g$ 连续且 $g(\boldsymbol{a}) = \boldsymbol{b}$，进一步缩小 $U$ 可保证 $g(U) \subset V$。这就完成了结论 1 的证明。
我们利用反函数定理得到了 $F$ 的局部反函数 $F^{-1}$，然后对 $\boldsymbol{z} = \boldsymbol{0}$（即目标值）取值，从 $F^{-1}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{0}) = (\boldsymbol{x}, h(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{0}))$ 中提取出 $\boldsymbol{y} = h(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{0}) = g(\boldsymbol{x})$。这就给出了方程 $f(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) = \boldsymbol{0}$ 的解 $\boldsymbol{y} = g(\boldsymbol{x})$。
第四步：隐函数的唯一性。
若另有 $\tilde{g}: U \to V$ 满足 $f(\boldsymbol{x}, \tilde{g}(\boldsymbol{x})) = \boldsymbol{0}$ 且 $\tilde{g}(\boldsymbol{a}) = \boldsymbol{b}$，则对任意 $\boldsymbol{x} \in U$，
由于 $F$ 在 $W$ 上是单射（反函数定理结论 1），且 $(\boldsymbol{x}, g(\boldsymbol{x}))$ 和 $(\boldsymbol{x}, \tilde{g}(\boldsymbol{x}))$ 都在 $W$ 内，故 $\tilde{g}(\boldsymbol{x}) = g(\boldsymbol{x})$。这就证明了隐函数的唯一性。
第五步：隐函数的导数公式。
���链式法则，对复合函数 $\boldsymbol{x} \mapsto f(\boldsymbol{x}, g(\boldsymbol{x})) = \boldsymbol{0}$ 求导。将 $f(\boldsymbol{x}, g(\boldsymbol{x}))$ 视为 $f \circ G$，其中 $G(\boldsymbol{x}) = (\boldsymbol{x}, g(\boldsymbol{x}))$。则
$G$ 的雅可比矩阵为 $G'(\boldsymbol{x}) = \begin{pmatrix} I_n \\ g'(\boldsymbol{x}) \end{pmatrix}$（$(n+m) \times n$ 矩阵）。$f$ 的雅可比矩阵为 $f' = \begin{pmatrix} D_{\boldsymbol{x}} f & D_{\boldsymbol{y}} f \end{pmatrix}$（$m \times (n+m)$ 矩阵）。因此
移项得
由于 $\boldsymbol{x} \mapsto \det D_{\boldsymbol{y}} f(\boldsymbol{x}, g(\boldsymbol{x}))$ 是连续函数，且在 $\boldsymbol{x} = \boldsymbol{a}$ 处不为零，因此缩小 $U$（如果需要）可保证 $D_{\boldsymbol{y}} f(\boldsymbol{x}, g(\boldsymbol{x}))$ 在整个 $U$ 上均可逆。两边左乘 $[D_{\boldsymbol{y}} f(\boldsymbol{x}, g(\boldsymbol{x}))]^{-1}$，得
这就完成了结论 2 的证明。 ∎
2.5.4 隐函数定理的几何意义与应用
隐函数定理告诉我们：如果 $f: \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m$ 在点 $(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})$ 处关于 $\boldsymbol{y}$ 的导数可逆，那么水平集 $f^{-1}(\boldsymbol{0})$ 在 $(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})$ 附近是一个 $n$ 维曲面——它可以表示为 $\boldsymbol{y} = g(\boldsymbol{x})$ 的图。这个曲面的"切平面"方向由隐函数的导数公式给出。
作为特例，当 $n = 1, m = 1$ 时，条件 $\frac{\partial f}{\partial y}(a,b) \neq 0$ 意味着曲线 $f(x,y) = 0$ 在 $(a,b)$ 处有非水平的切线，因此局部可以表示为 $y = g(x)$（或 $x = h(y)$）。这正是初等微积分中隐函数求导公式的几何来源。
反函数定理处理的是"方程个数 = 未知数个数"的情形（$f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$），给出局部一一映射。隐函数定理处理的是"方程个数 < 未知数个数"的情形——我们有 $m$ 个方程，但未知数有 $n+m$ 个（$\boldsymbol{x}$ 和 $\boldsymbol{y}$）。定理说，在合适的非退化条件下，我们可以把 $m$ 个未知数（$\boldsymbol{y}$）解成其余 $n$ 个未知数（$\boldsymbol{x}$）的函数。两者在本质上是等价的——隐函数定理的证明正是通过构造扩充映射 $F$ 并引用反函数定理来完成的。
考虑 $f(x,y) = x^2 + y^2 - 1$。在点 $(a,b) = (0,1)$ 处，$f(0,1) = 0$。计算偏导数：$\frac{\partial f}{\partial x}(0,1) = 0$，$\frac{\partial f}{\partial y}(0,1) = 2 \neq 0$。由隐函数定理，存在唯一的函数 $y = g(x)$ 定义在 $x=0$ 附近，满足 $x^2 + g(x)^2 = 1$ 且 $g(0) = 1$。显然 $g(x) = \sqrt{1 - x^2}$。定理还给出
与直接求导一致。注意在 $(1,0)$ 处，$\frac{\partial f}{\partial y}(1,0) = 0$，定理条件不满足——事实上，在 $(1,0)$ 附近无法将 $y$ 表示为 $x$ 的函数（圆在该点有垂直切线），但可以将 $x$ 表示为 $y$ 的函数。
考虑线性映射 $f(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) = A\boldsymbol{x} + B\boldsymbol{y}$，其中 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，$B$ 是 $m \times m$ 矩阵。方程 $f(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) = \boldsymbol{0}$ 即 $A\boldsymbol{x} + B\boldsymbol{y} = \boldsymbol{0}$。若 $B$ 可逆，则 $\boldsymbol{y} = -B^{-1}A\boldsymbol{x}$。这正是隐函数定理给出的公式——$D_{\boldsymbol{y}} f = B$，$D_{\boldsymbol{x}} f = A$，结论 $g'(\boldsymbol{x}) = -B^{-1}A$ 与线性代数的解完全一致。
练习 2.5
- 设 $f(x,y) = x^3 + y^3 - 3xy$。验证在点 $(a,b) = (1,1)$ 处是否满足隐函数定理的条件？若满足，求 $g'(1)$，其中 $g$ 是由 $f(x, g(x)) = 0$ 确定的隐函数。
- 设 $f: \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ 定义为
$$f(x_1, x_2, y_1, y_2) = \begin{pmatrix} x_1^2 + y_1^2 + y_2^2 - 3 \\ x_2^2 + y_1 - y_2 - 1 \end{pmatrix}.$$问在点 $(x_1, x_2, y_1, y_2) = (1, 1, 1, 1)$ 附近，能否将 $\boldsymbol{y} = (y_1, y_2)$ 表示为 $\boldsymbol{x} = (x_1, x_2)$ 的函数？若能，求出隐函数在 $(1,1)$ 处的雅可比矩阵。
- 设 $f: \mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 满足隐函数定理的条件。利用一维链式法则直接验证隐函数导数公式 $g'(x) = -\frac{f_x(x, g(x))}{f_y(x, g(x))}$。
- 证明：若 $\widetilde{W} \subset \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^m$ 是开集，则 $U = \{\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^n \mid (\boldsymbol{x}, \boldsymbol{0}) \in \widetilde{W}\}$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的开集。提示：利用开集的定义和投影映射的连续性（或直接构造）。
- 判断下列命题的真伪，并给出理由或反例：
- (a) 若 $f: \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m$ 在 $(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})$ 处可微且 $\det D_{\boldsymbol{y}} f(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}) \neq 0$，则方程 $f(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) = \boldsymbol{0}$ 在 $(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})$ 附近必有唯一解 $\boldsymbol{y} = g(\boldsymbol{x})$。
- (b) 隐函数定理中的 $g$ 定义在整个 $\mathbb{R}^n$ 上，且对任意 $\boldsymbol{x}$ 有 $f(\boldsymbol{x}, g(\boldsymbol{x})) = \boldsymbol{0}$。
- (c) 若 $f(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}) = \boldsymbol{0}$ 但 $\det D_{\boldsymbol{y}} f(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}) = 0$，则方程 $f(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) = \boldsymbol{0}$ 在 $(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})$ 附近一定无法将 $\boldsymbol{y}$ 表示为 $\boldsymbol{x}$ 的函数。
- 设 $F: \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^m$ 定义为 $F(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) = (\boldsymbol{x}, f(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}))$，其中 $f$ 满足隐函数定理的条件。验证 $F^{-1}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{z})$ 的第一分量确实是 $\boldsymbol{x}$（恒等映射）。提示：考虑 $F \circ F^{-1}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{z}) = (\boldsymbol{x}, \boldsymbol{z})$，比较第一分量。
- （隐函数定理的推广）假设 $f: \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^p$ 其中 $p \le m$。叙述并证明一个隐函数定理的版本，使得在适当条件下可以从 $f(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) = \boldsymbol{0}$ 中解出 $p$ 个 $\boldsymbol{y}$ 变量。提示：从 $\boldsymbol{y} \in \mathbb{R}^m$ 中选出 $p$ 个变量作为待解变量，其余 $m-p$ 个变量与 $\boldsymbol{x}$ 合并视为新的自变量（维数变为 $n+m-p$），然后套用标准的隐函数定理。